Kör
Kör (circulus). Ha egy pont a síkban ugy mozog, hogy egy szilárd ponttól való távolsága állandóan ugyanaz, akkor egy önmagába visszatérő görbe vonalat ir le. E vonalat körvonalnak s azt a síkrészt, melyet körülzár, K.-nek nevezzük. Rendesen a körvonalat is, mely a K. kerületét képezi, röviden csak K.-nek nevezzük. Az a pont, melytől e vonal pontjai egyenlő távolságra vannak, a K. középpontja (centrum), a középponttól a K. kerületének valamely pontjához vont egyenes vonaldarab a K. sugara (küllő, radius). Egy egyenes vonalnak a K. kerületével csak akkor lehetnek (valós) közös pontjai, ha az egyenesnek a középponttól való merőleges távolsága nem nagyobb, mint a sugár. Ha e távolság egyenlő a sugárral, akkor az egyenesek a K.-rel csak egy közös pontja van. Az egyenest ekkor érintőnek (tangens) s a K.-rel való egyetlen közös pontot érintési pontnak hivjuk. Az érintő merőleges az érintési ponthoz húzott sugárra. Ha az egyenesnek a középponttól való távolsága kisebb a sugárnál, akkor az egyenes két pontban metszi a kört és szelőnek (secans) neveztetik. A szelőnek a két metszési pont közé foglalt részét húrnak (chorda) mondjuk. A húr hossza legnagyobb, ha a szelő keresztül megy a középponton. Az ily szelőt, valamint e szelőnek a metszési pontok közé foglalt részét átmérőnek (diameter) nevezzük. Az átmérő hossza a sugár kétszeresével egyenlő. Bármely átmérő felezi a reá merőleges húrokat. A körvonal bármely részén körívnek (arcus) nevezzük. Egy körív és a végpontjait összekötő húr által bezárt síkrészt karéjnak (körszelet, körszegvény, segmentum) mondjuk, egy körív és a K. középpontjától ezen ív végpontjaihoz húzott sugarak által bezárt síkrészt pedig gerezdnek (körcikk, sector).
A körvonal és a körív hosszának, valamint a K., a karéj és a gerezd területének meghatározásával a körmérés (ciklometria) foglalkozik. A K. kerülete, vagyis az egész körvonal hossza 2rπ, hol r a K.-nek sugara és π = 3,14159... a ludolfi szám. A K. kerületének 360-ad részét foknak (°) nevezzük; egy foknak hosszusága tehát rπ/180. A φ foku körív hossza rπ/180φ. A kör területe: r2π, a φ° -u körívhez tartozó gerezd területe: r2π/360φ, s a megfelelő karéj területe:
A körmérés első szigoru tárgyalása Archimedestől való. Ő azt találta, hogy a kör kerületének az átmérőhöz való viszonya π nagyobb mint 3 10/71, de kisebb mint 3 1/7. Utána számosan foglalkoztak e viszony pontosabb kiszámításával. Ludolf van Ceulen a XVI. sz. végén ezt a számot először 20, utóbb 35 tizedesre számította ki. Századunkban Dase 200 tizedest számított ki, s akadtak, akik még több tizedes kiszámítására fecsérelték idejüket. A K. kerületének meghatározását kiegyenesítésnek, rektifikálásnak v. rektifikációnak, a terület meghatározását a K. négyszögítésének vagy quadraturájának szokás nevezni. Sokan e két feladatot a következő fogalmazásban akarták megoldani: pusztán vonalzó és körző segítségével szerkesztendő oly vonaldarab, mely egyenlő hosszu egy adott sugaru K. kerületével s egy oly négyzet, mely egyenlő területü egy adott sugaru körrel. Végre Lindemann 1882. kimutatta, hogy ily szerkesztés lehetetlen. Az ily értelemben vett rektifikáció és quadratura lehetetlenségének oka abban rejlik, hogy a π szám transzcendens, azaz nem tesz eleget oly algebrai egyenletnek, melyben az együtthatók egész számok volnának. De ha a K. kerületének és területének teljesen pontos megszerkesztése lehetetlen is, nagymérvü megközelítést nyujtó szerkesztéseket többen találtak.
A körmérés első szigoru tárgyalása Archimedestől való. Ő azt találta, hogy a kör kerületének az átmérőhöz való viszonya π nagyobb mint 3 10/71, de kisebb mint 3 1/7. Utána számosan foglalkoztak e viszony pontosabb kiszámításával. Ludolf van Ceulen a XVI. sz. végén ezt a számot először 20, utóbb 35 tizedesre számította ki. Századunkban Dase 200 tizedest számított ki, s akadtak, akik még több tizedes kiszámítására fecsérelték idejüket. A K. kerületének meghatározását kiegyenesítésnek, rektifikálásnak v. rektifikációnak, a terület meghatározását a K. négyszögítésének vagy quadraturájának szokás nevezni. Sokan e két feladatot a következő fogalmazásban akarták megoldani: pusztán vonalzó és körző segítségével szerkesztendő oly vonaldarab, mely egyenlő hosszu egy adott sugaru K. kerületével s egy oly négyzet, mely egyenlő területü egy adott sugaru körrel. Végre Lindemann 1882. kimutatta, hogy ily szerkesztés lehetetlen. Az ily értelemben vett rektifikáció és quadratura lehetetlenségének oka abban rejlik, hogy a π szám transzcendens, azaz nem tesz eleget oly algebrai egyenletnek, melyben az együtthatók egész számok volnának. De ha a K. kerületének és területének teljesen pontos megszerkesztése lehetetlen is, nagymérvü megközelítést nyujtó szerkesztéseket többen találtak.
1. ábra. A kör kiegyenesítése.
2. ábra. Körív kiegyenesítése.
Különösen használható szerkesztést nyujtott Kochanski lengyel jezsuita 1685., mely π helyett 3,14153-at adja, s a következő (1. ábra): Rajzoljuk a K. AB átmérőjének A végpontja körül az adott kör sugarával egyenlő körzőnyilással az OCD körívet s ennek az adott körrel való C metszési pontja körül az AD körívet, mely OCD-t D pontban metszi. Az OD egyenesnek és az A pontban vont AF érintőnek E metszéspontjából rakjuk fel a sugár háromszorosával egyenlő EF hosszuságot és ennek F végpontját kössük össze B-vel. Az igy nyert BF vonaldarab igen keveset különbözik a K. félkerületétől. Egy tetszőleges, de 450-nál kisebb ív kiegyenesítésére Snellius a következő közelítő szerkesztést találta (2. ábra): A kiegyenesítendő AD körív A végpontján keresztül vonjuk meg az AT érintőt s az AB átmérőt, melynek meghosszabítására a sugárral egyenlő BC hosszuságot rakjuk fel. Ha az E pont a CD egyenesnek AT-vel való metszése, akkor az AE egyenes vonaldarab csak igen kevéssel rövidebb az AD körívnél.
Arcanum Newspapers
See what the newspapers have said about this subject in the last 250 years!
Show me
