Egység gyökei
Egység gyökei ama számok, melyeknek valamely pozitiv egész kitevővel ellátott hatványa 1. Ama számok, melyeknek n-dik hatványa 1, a pozitiv egység n-dik gyökei és ennek megfelelőleg n√1 -gyel jelöltetnek. Ezek mind az xn = 1 egyenletnek gyökei és viszont ennek az egyenletnek minden gyöke n-dik hatványra emelve 1-et ad eredményül. Ebből a körülményből kiindulva az egység n-dik gyökeit a következő alakban állíthatjuk elő:
ak=cos 2kπ/n + i sin 2kπ/n
hol π a Ludolf-féle számot, i a képzetes egységet √-1-et és k a 0, 1, ..., n-1 egész számok valamelyikét jelenti. Az ak számára igy nyert n érték mind különböző, mig ha k helyébe egy a felsoroltak közt elő nem forduló egész számot teszünk, mint az könnyen bebizonyítható, a már előbb nyert értékek valamelyikével megegyező értéket nyerünk, igy tehát az n√1 értékeinek száma pontosan n. Ezek közt az egyik, mely a k = 0 értéknek felel meg, mindig 1; a többi hátralevő értékek közt legfelebb még csak egy lehet valós, t. i. páros n esetében a k = n/2 -nek megfelelő, midőn ak = -1 lesz. Minthogy ak = a11k, világos, hogy az 1, a112, a12, ..., a11n-1 sorozat az n√1 összes értékeit tartalmazza. De nem csak az a1-nek hatványai, hanem az 1 minden más n-dik gyökének hatványai szintén n-dik gyökei az 1-nek; mert ha pl. β az 1-nek egy tetszőleges n-dik gyöke, és igy β = 1, akkor egyszersmind (βk)n = (βn)k = 1. Mig azonban a1-nek legalacsonyabb pozitiv kitevővel ellátott hatványa, mely 1-gyel egyenlő, az n-dik, más egységgyöknek már alacsonyabb hatványa is lehet 1. Ha d a legkisebb pozitiv egész szám, melyre nézve akkd = 1, akkor azt mondjuk, hogy ak a d kitevőhöz tartozik. Hogyha k és n legnagyobb közös osztója δ, akkor d = n/δ. Ha k és n viszonylagos törzsszámok, ugyhogy ak az n kitevőhöz tartozik, ak-ról azt mondjuk, hogy primitiv n-dik gyöke az 1-nek. Ebben az esetben az 1, ak, ak2, ..., ak</n-1 sorozat ismét az 1 összes n-dik gyökeit tartalmazza. Az E.-nek részletes vizsgálata mutatja, hogy valamely n = p1d1 ... prdr,. Ha k és n viszonylagos törzsszámok, ugyhogy ak az n kitevőhöz tartozik, ak-ról azt mondjuk, hogy primitiv n-dik gyöke az 1-nek. Ebben az esetben az 1, ak, ak2, ..., akn-1 sorozat ismét az 1 összes n-dik gyökeit tartalmazza. Az E.-nek részletes vizsgálata mutatja, hogy valamely n = p1d1 ... prdr, összetett számnak megfelelő E.-nek meghatározása a p1d1, ..., prdr törzs-számhatványoknak megfelelő E. meghatározására vezethető vissza. Az E.-nek fennebi alakját legelőször Cotes használta (Harmonia mensurarum 1722), Gauss a Disquisitiones arithmeticae VII. fejezetében pedig megmutatta, hogy az E. tisztán algebrai uton, tehát trigonometrikus függvények közbejárása nélkül is előállíthatók.
