KUTATÁSAI AZ ANALÍZIS TERÉN
KUTATÁSAI AZ ANALÍZIS TERÉN
Kőnig nemzetközileg legismertebb eredményei a halmazelméletbe és a matematikai logikába tartoznak, azonban – véleményem szerint – a hazai matematika századvégi föllendülésében nagyobb hatásúak voltak analízis tárgyú írásai. Ez egyaránt vonatkozik értekezéseire és ilyen tankönyveire. Pedig az analízisben nálunk Kőnig nem volt kezdeményező, az ilyen hagyományok még a geometriánál is régebbi időkig nyúlnak vissza. Segner János András és Kerekgedei Makó Pál XVIII. században írott könyvei, majd Bolyai Farkas Tentamenje, Győry Sándor kétkötetes analízise, Petzval József monográfiái, Vész János Ármin ugyancsak kétkötetes egyetemi tankönyve egyaránt figyelemreméltó alkotások.
Kőnig Gyula egy vonatkozásban azonban ezen a téren is úttörő volt nálunk, mégpedig abban, amit manapság „weierstrassi szigor”-nak szoktunk nevezni. Munkája nyomán hazánkban is meghonosodtak az analízis nagy precizitást kívánó módszerei. Még a viszonylag szerényebb Bevezetés a felsőbb algebrába c. könyvének egyik mondata szerint is az volt a célja, hogy „a mai tudományos kutatás színvonaláig” juttassa el az olvasót. Törekvése ebben a munkában különösen a végtelen sorok, a végtelen szorzatok és a lánctörtek valóban legújabb eredményeit is bemutató fejezeteiből tűnik ki.
E munkájánál azonban sokkal jelentősebb az 1887-ben megjelent Analízis c. könyve. Az egyik korabeli bírálat ezt írja: „Önálló felfogás és elrendezés mellett részletes és teljes áttekintést nyújt a … matematikai módszerek és eredmények mai állásáról…, egyszersmind megadja az eddig hiányzott alapot, melyből most már önálló matematikai kutatások és bírálatok indulhatnak ki a mathézis számos mezejébe.”
E könyvében Kőnig valóban nem elégedett meg az analízis akkor szokásos anyagának a tárgyalásával, hanem gyakran közölt általa talált bizonyításokat, vagy beillesztette saját tudományos vizsgálatainak új eredményeit. Érdeklődő fiatal matematikusaink szinte bibliájuknak tekintették e művet, amelyből nem csak tárgyi ismereteket és matematikai pontosságot tanultak, hanem egyéni vizsgálataikhoz ötleteket is merítettek. Sajnálatos, hogy a két kötetre tervezett monográfiának csupán az első része jelent meg, és az is csak magyar nyelven, holott egyes külföldi matematikusok (pl. Engel és Stäckel) szorgalmazták német kiadását.
Az analízis szó azonban e könyv esetében tágabb értelemben veendő: a ma szokásos anyagon felül bőven tartalmaz valósfüggvénytani és analitikus számelméleti fejezeteket. Külön is figyelmet érdemel, hogy a halmazelmélet megszületését alig egy évtized múlva Kőnig már időszerűnek látta, hogy az akkor még sokat vitatott tudományág egyes részeit könyvébe felvegye. Ez a magyarázata annak, hogy a halmazelmélet több fogalmának magyar szakkifejezése (elem, számosság, megszámlálható halmaz stb.) Kőnigtől ered.
Módszerére jellemző a magas fokú absztrakció. Kőnig az analízist iparkodott minden geometriai eszköztől elkülöníteni, akárcsak egy fél évszázaddal előbb Bolyai Farkas. Könyvének egyik lábjegyzetében ezeket írja: „Az analízis rendszeres kifejtésében geometriai tárgyalásokat nem használhat, mert ezeknek utolsó alakjai – akár axiómáknak, akár föltevéseknek vegyük őket – mindenkor – oly külső szemlélettel állnak kapcsolatban, melytől teljesen független minden számtani igazság. Ez természetesen nem zárja ki, hogy a számok absztrakt vonatkozásait geometriai viszonyokon érzékítsük, valamint azt sem, hogy az analízis geometriai (valamint egyéb természettudományi) alkalmazásai által a kifejtett módszereknek tudományos értékét és jelentőségét föltüntessük.”
Az alább következő Kőnig-féle tétel megértése nem igényel mélyebb matematikai fölkészültséget, Kürschák József által adott népszerű átfogalmazása pedig iskolapéldája annak, hogy miként lehet viszonylag elvont matematikai eredményt sokak számára érthetővé tenni.
Legyen adott a következő végtelen sorozat:
1, cos x, cos 2x, cos 3x,…
Középiskolai tanulmányainkból tudjuk, hogy a cosinus függvénynek milyen az előjele a különböző szögnegyedekben. Így belátható, hogy az előbbi sorozat elemei (x-től függően) szeszélyes módon + és – értékűek. Kérdés, hogy az előjelváltások (tehát amikor + után – következik vagy megfordítva) számából meg lehet-e határozni x-et?
A válasz igenlő: a sorozat mind több tagját véve tekintetbe, az előjelváltások számából határértékként kiadódik x értéke.
Természetesen Kőnig képletileg is közli az x-et előállító formulát.
A Kőnig által adott bizonyításnak Kürschák Józseftől származó szellemes, népszerű átfogalmazása:
„Képzeljünk el valamely egyenlő periódusokban ismétlődő természeti tüneményt, mondjuk egy időszakos forrást, mely egyenlő időközökben tör ki hatalmas sugarakban. Az időszak, mely múlva a kitörés ismétlődik, szorítkozzék néhány órára. Az időszak mérését nehezítse meg az a körülmény, hogy a forrás mellett képzelhetetlenül primitív élet folyik. Az időmérés mindennemű eszköze hiányozzék. A csillagok járásában se legyünk olyan járatosak, hogy a pásztorok módjára belőle leolvashatnók az időt. Egyetlen mértékül a nappal és az éjszaka megkülönböztetése szolgáljon. Ha a forrás nappal tör ki, véssünk egy fának a kérgébe + jelet, ha éjjel tör ki, akkor – jelet. Ezt folytassuk hónapokon át, a jeleket abban a rendben róva egymás mellé, ahogyan keletkeztek. Más följegyzést ne tegyünk. Tehát mit sem törődünk a rovások keltével. Nem számláljuk a napok folyását. Csak a + és – jeleket rovogatjuk. Kérdés: ezek a jelek elegendők-e arra, hogy belőlük hosszabb idő múlva pontosan meghatározhassuk a tünemény periódusát, azaz a két felszökés közötti időszakot?
A periódus ilyen meghatározása valóban lehetséges, mégpedig igen egyszerűen. Nyilván annyi kitörést észleltünk, ahány jelet róttunk a fa kérgébe. Továbbá azt is megmondhatjuk, hogy ezek a kitörések hány nappalra és hány éjszakára estek. Valahányszor + után – következik, mindannyiszor közben egy éjszaka borult reánk. Valahányszor – után + következik, új hajnal virradt. Ha feljegyzéseink 3000 szakaszra vonatkoznak és köztük 1000 jelváltást találunk, azaz, ha 500-szor történik átmenet a – jelekről + jelekre és 500-szor az ellenkező átmenet: akkor ez a napnak 500 keltét és 500 lenyugvását jelenti. Följegyzéseink tehát 500 napról valók. Csak arra nézve van kétségünk, hogy első és utolsó följegyzéseink mely órára esnek. De ez 500 naphoz képest nagyon csekély idő. Fölismerve, hogy a följegyzések 500 napra vonatkoznak és tudva, hogy ennek az időnek 3000 periódus felel meg, nyilvánvaló, hogy 24 órára éppen 6 szakasz esik. Egy periódus 4 óra.
Kőnignél a meghatározandó szám nem egy természeti tünemény periódusa, hanem bizonyos algebrai vizsgálatokban szereplő szög; a + és a – jelek, amelyeknek váltakozásából e számot meghatározza, nem nappalt és éjszakát jelentenek. De a gondolat lényege ugyanaz.”
*
Kőnig analízis tárgyú értekezéseinek egy része didaktikai, így az is, amelyben módszert közöl, hogy miként lehet az integrálszámítás második középértéktételét az elsőből levezetni. E tanulmánya azonban több, mint amit a bevezetője ígér: benne ugyanis Kőnig megadja az integrál Stieltjesről elnevezett definícióját. A bevezetésben az a kijelentés szerepel, hogy az integrálszámítás második középértéktétele eredeti módon vezethető le az elsőből, „ha a határozott integrál fogalmát új irányban általánosítjuk”. Ezután következik az általánosítás, ez pedig a Stieltjes-integrál pontos értelmezése.
A határozott integrál különböző irányú általánosításai közül egyik legközvetlenebb, és a gyakorlatban is sűrűn alkalmazott a Stieltjes-féle. Ezt a fizikusok már a múlt század hetvenes éveiben alkalmazták, anélkül azonban, hogy eljárásuk elvi jelentőségét fölismerték volna. Stieltjesnek a pontos definíciót közlő értekezése 1894–95-ben jelent meg, Kőnig említett értekezése 1897-ben. Ami tehát a közzététel időpontját illeti, kétségtelenül Stieltjesé az elsőbbség. Egyetemi előadásainak jegyzetei azonban azt igazolják, hogy Kőnig már jóval előbb alkalmazta ezt az integrálfogalmat. Azt kell tehát mondanunk, hogy az integrál általánosításainak messze vezető folyamatában fontos, bár külföldön alig méltányolt láncszemet alkot Kőnig ez irányú tevékenysége.
Ennél az eredménynél szerencsésebb volt a sorsa Kőnig egy másik értekezésének, ez komoly nemzetközi visszhangot váltott ki. Itt Kőnig Gyula a bizonyos feltételeknek eleget tevő egyváltozós valós függvény tulajdonságait vizsgálta, és olyan tételeket talált, amelyeket ma a valós függvénytan keretébe szoktunk iktatni. Képletek közlése nélkül körülményes lenne megadnunk a vizsgált függvényre kirótt feltételeket. Röviden annyit mondhatunk, hogy az általa tárgyalt függvény némi rokonságot mutat Weierstrass azon példájával, amely a mindenütt folytonos, de egyetlen pontban sem differenciálható függvényt definiálja.
Hazai vonatkozásban főként azért jelentős Kőnig ezen értekezése, mert hatására kezdett valós-függvénytani problémák iránt érdeklődni Geöcze Zoárd, kinek legelső eredménye egy mindenütt folytonos, de bármily kis intervallumban is végtelen ívhosszú függvényre adott példa. Ez a függvény – mint újabb számítások kiderítették – egyetlen pontban sem differenciálható. Távolabbi következménye pedig Geöczének a felszínszámítás körébe tartozó alapvető tevékenysége. Állításomat Geöcze hátramaradt – a háborúban sajnos veszendőbe ment – kézirataira alapozom.
*
A Kőnigről szóló visszaemlékezések azt mondják, hogy nem volt híve a matematikai eredmények erőszakos, mesterkélt alkalmazásának, „nem látta szívesen, ha gyakorlati férfiak bonyodalmas … tételeket alkalmaznak olyan eredmények levezetésére, melyek egyszerűbb mechanikai meggondolásokból világosabban tűnnek ki” (Kürschák). E megállapítás helytálló voltát számos szemelvénnyel igazolhatnám, de talán a legjellemzőbbek rá a differenciálegyenletekről írott terjedelmes értekezései. Ezek tárgya – első kiindulópontjukat tekintve – kifejezetten alkalmazott probléma (dinamikai kérdések, a nálunk többek által kutatott leghatásosabb szélkerék, illetve hajócsavar kérdése stb.), ez azonban magukból a tanulmányokból kevéssé vagy egyáltalán nem tűnik ki. Kőnig ugyanis a kutatásra ösztönző gyakorlat problémától gyorsan függetlenítette magát, és lehetőleg általános elmélet megteremtésére törekedett.
Mechanikai problémákban nagy szerepet játszik az ún. Hamilton–Jacobi-féle elsőrendű (az n számú helykoordináta, valamint az idő miatt n + 1 független változót tartalmazó) parciális differenciálegyenlet. Jacobi már Kőnig előtt igazolta, hogy ennek a megoldása ekvivalens egy belőle nyerhető 2n számú közönséges differenciálegyenletből álló rendszer megoldásával. Mármost Kőnig Gyula egyik értekezésében alapkérdésnek tekintette az így nyerhető közönséges differenciálegyenlet-rendszer megoldásának a problémáját, és több szempontból le is zárta az analízis e – gyakorlati szempontból igen lényeges – kérdéskörét. Értekezésének a nemzetközi irodalomban nagy visszhangja volt, eredményeinek tekintélyes része beépült a monográfiákba.
A differenciálegyenletek körében Kőnig által végzett vizsgálatok közül azonban a legjelentősebb az, amelyben a két független változót tartalmazó, másodrendű parciális differenciálegyenletek általános elméletét fejtette ki. Az egyenletek ezen osztályának elmélete Ampčre alapvető, de könnyen egyáltalán nem követhető kutatásai, továbbá egyesek – Boole, Bour, Imschenetzky – módszeresebb közleményei után megakadt. 1870-ben Darboux a vizsgálatok egészen új irányát jelölte ki a kérdés olyan fölvetése révén, hogy az említett típusú differenciálegyenletek milyen feltételek teljesülése esetén vezethetők vissza közönséges differenciálegyenlet-rendszerekre. Erre a kérdésre talált Kőnig Gyula kritériumokat, miáltal az ilyen parciális differenciálegyenletek megoldásának kérdését elvileg el is intézte. Azért csupán elvileg, mert a nyerhető közönséges differenciálegyenletek tényleges megoldása újabb problémákat vethet fel.
Figyelemre méltó e kérdéskörnek a hazai háttere. Ismertetésével jellemző példát mutatok be arra, hogy kifejezetten gyakorlati problémák milyen rövid úton vezethetnek absztrakt matematikai vizsgálatokhoz. Martin Lajos (1827–1897), a kolozsvári egyetem matematikaprofesszora a múlt század hatvanas éveiben elemi matematikai eszközökkel, valamint kísérleti úton kutatta a leghatásosabb hajócsavar és az optimális szélkerék problémáját. Vizsgálatait a hazai folyók hajózhatóvá tétele és az öntözéses gazdálkodás szorgalmazása tette időszerűvé. A kutatásokba – már mélyebb matematikai eszközöket is felhasználva – csakhamar bekapcsolódott id. Szily Kálmán, Kruspér István és Réthy Mór. Fokozatosan felismerve ezt, hogy e kérdés matematikai formulázása variációszámítási feladathoz vezet, Vályi Gyula jelentős doktori értekezésében már e variációs problémából nyert másodrendű parciális differenciálegyenlet megoldhatóságát kereste.
Ilyen előzmények után fordult Kőnig Gyula figyelme az ilyen típusú differenciálegyenletek általános elmélete felé. Az ő vizsgálatainak hatására Kürschák József is közölt néhány idetartozó jelentős tételt. A későbbi kutatók – Sonin, Bäcklund, Beudon, Hamburger és mások – részeredményeivel együtt monografikus feldolgozásban Goursat foglalta össze ez idetartozó elméletet.
Nincs lehetőségem Kőnig analízis tárgyú értekezéseinek további részletezésére, egynek e lényegére azonban még rámutatok: ebben komplex-függvénytani vizsgálatokból kiindulva egy látszólag távol eső területtel talált kapcsolatot. D. Bernoulli 1728-ben egy gyökközelítő eljárást publikált magasabb fokú algebrai egyenletek abszolút értékre nézve legkisebb gyökének a meghatározására. Kőnig komplex-függvénytani tétele igen egyszerű indoklását adja e Bernoulli-féle módszernek, és ezzel példát szolgáltat az analízis és az algebra távolesőnek tűnő területei összekapcsolására.
Befejezésként még egy rövid tudománytörténeti megjegyzés: a századforduló táján tevékenykedő tudósaink közül többen csaknem egyforma érdeklődéssel dolgoztak a matematika és az elméleti fizika területén. Egyesekről – Réthy Mór, id. Szily Kálmán, Farkas Gyula és mások – nehéz is eldöntenünk, hogy a matematikusok, vagy a fizikusok közé sorolandók-e. De néhány értekezésben még a hazai matematika olyan pregnáns képviselői, mint Vályi Gyula, Schlesinger Lajos, Fejér Lipót és Beke Manó is tárgyaltak fizikai problémákat. Ez utóbbiak közé kell sorolnunk Kőnig Gyulát is. A mechanika ismert elveivel foglalkozó egyik értekezése módszerét tekintve a matematikai analízis körébe sorolandó. A tanulmány a mechanikai kényszermozgásokkal foglalkozik, de a megelőző idők tárgyalási módjainál általánosabban: a ható erőkre és a kényszerre vonatkozó jóval enyhébb megszorításokkal. Éppen a nagyfokú általánosság miatt érdekesek Kőnig eredményei. Itt csupán azt említem meg, hogy néhány új fogalom (sebességi viriál, gyorsulási viriál, energéma, gyorsulási energéma) értelmezésével sikerült a mechanika néhány variációs elvét tömörebben megfogalmaznia. De a tanulmányból vett következő idézet is érdekes – talán a relativitáselmélet szempontjából: „nincs kizárva annak lehetősége hogy a tömegek bizonyos módon változnak az idővel, vagy még általánosabban, a rendszer mozgási állapotával. Épp ezért megjegyzem itt …, hogy a… tárgyalások a tömegekre vonatkozó ily általánosabb föltevésre is vonatkoznak.”
