MUNKÁSSÁGA A HALMAZELMÉLETBEN ÉS A MATEMATIKAI LOGIKÁBAN
MUNKÁSSÁGA A HALMAZELMÉLETBEN ÉS A MATEMATIKAI LOGIKÁBAN
Befejezésként Kőnig Gyula halmazelméleti és logikai vizsgálatait tárgyalom, az előzőeknél kissé részletesebben: egyrészt, mert világviszonylatban ezek a legismertebb eredményei, másrészt, mivel néhány fogalom előrebocsátása után a lényeget a nem matematikusok is megérthetik.
A halmazelmélet megalapozását Georg Cantor német matematikus 1874-gyel kezdődően megjelent értekezéseitől szoktuk számítani. Az általa módszeresen megalapozott tudományág egyik jellegzetessége hogy lehetőséget nyújt a különböző végtelenek nagyságrendi megkülönböztetésére. Ehhez az eszközt a véges halmazok szolgáltatják: két véges számú elemből álló halmaznak akkor van ugyanannyi eleme ha kölcsönösen egyértelmű megfeleltetést tudunk a két halmaz elemei között létesíteni. Ugyanannyi lovas és ló van, ha minden lovas számára jut egy és csakis egy ló, és minden lovon ül egy és csakis egy lovas. Önként kínálkozik, hogy végtelen halmazok esetében is ezt a kölcsönösen egyértelmű hozzárendelést tekintsük kiindulópontnak. Ha ez a hozzárendelés két végtelen halmaz esetében megvalósítható, akkor azt mondjuk, hogy egyenlő számosságúak. Megemlítendő, hogy a szakirodalom a számosság szó szinonimáját, a kardinális számot is használja.
Az egyenlő számosságú halmazok ekvivalensek. A legkisebb kardinális szám a természetes számok (= pozitív egész számok) számossága. Jelöljük a következőkben ennek számosságát az a betűvel, és nevezzük ezt a halmazt, valamint a vele ekvivalens halmazokat megszámlálhatónak.
Az ekvivalencia definíciója szerint pl. „ugyanannyi” természetes szám van – többek között –, mint pozitív páros szám. Könnyű ugyanis a két halmaz között megvalósítanunk a kölcsönösen egyértelmű megfeleltetést: minden természetes számhoz a kétszeresét, és minden páros számhoz a felét rendeljük. De még meglepőbb eredmények is beláthatók. Így pl. az, hogy „ugyanannyi” racionális törtszám van, mint természetes szám. A két halmaz elemeinek kölcsönösen egyértelmű hozzárendelésére Cantor adott eljárást (az ún. diagonális módszert).
A valós számok halmaza azonban már nem ekvivalens a természetes számok halmazával, a két halmaz között nem létesíthető kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés. A valós számokat és a vele ekvivalens halmazokat kontinuum számoságúaknak nevezzük. Ennek a számosságnak a jele legyen a c betű (megjegyzendő, hogy az a és c kardinális számokat a szakirodalom – Cantor nyomán – a megfelelő kis gót betűkkel szokta jelölni).
Könnyű igazolni, hogy az a kardinális szám kisebb, mint a c. Az is igazolható – végtelen halmazokra alkalmas módon bizonyos műveleteket (pl. összeadás, kivonás, szorzás stb.) értelmezve –, hogy bármilyen kardinális számnál van nagyobb: ilyen pl. egy végtelen halmaz összes részhalmazaiból álló ún. hatványhalmaz.
Az eddig mondottaknak meglepő következményei vannak. Ilyen pl. az, hogy az egységszakasznak ugyanannyi pontja van, mint az egységnyi oldalhosszúságú négyzetnek, vagy az egységnyi élhosszúságú kockának.
Az ilyesféle eredmények a Cantor-féle alapvetést követő első időkben bizonyos kétséget támasztottak a halmazelmélet kellő szigorúságú megalapozottsága és alkalmazhatósága tekintetében. Kőnig Gyula egyike volt azon keveseknek, akik azonnal fölismerték az új tudományág jelentőségét, és maga is jelentős tételekkel járult hozzá további kiépítéséhez.
Már Cantor megfogalmazta, de kifogástalanul csak Felix Bernstein bizonyította be (1898) a következő tételt:
Ha az A és B halmazok mindegyike ekvivalens a másik egy részhalmazával, akkor A és B ekvivalens.
Erre az ekvivalencia-tételre Kőnig Gyula is közölt egy szép bizonyítást, ez szemléletileg is könnyen követhető azzal a topológiai átfogalmazással, amelyet régebben fia, Kőnig Dénes, újabban pedig Szász Pál közölt.
Ugyancsak rendkívül ötletes Kőnignek arra a Cantor-féle tételre adott bizonyítása, hogy a síknak ugyanannyi pontja van, mint az egyenesnek. Ez az állítás átfogalmazva azt jelenti, hogy a valós számokból ugyanannyi rendezett számpár képezhető, mint amennyi valós szám van. (Ugyanis a koordináta-rendszerben az egyenes pontjait valós számokkal, a sík pontjait rendezett valós számpárokkal adjuk meg.) E tétel bizonyítását az első időkben a végtelen lánctörtekre alapozták, Kőnig a könnyebben kezelhető tizedes törteket vette igénybe, egy szellemes ötlettel áthidalva az itt föllépő nehézséget.
Történelmi érdekesség kedvéért megemlítem, hogy bizonyítását Kőnig 1894-ben a Matematikai és Fizikai Társulat egyik ülésén mutatta be, de sehol sem tette közzé. Szóbeli közlések révén azonban gondolatmenete csakhamar ismertté vált, és Schoenfliess fel is vette 1900-ban megjelent Festschriftjébe. A bizonyítás további népszerűsítéséhez nagyban hozzájárultak F. Klein, Fraenkel, Kürschák József, Kalmár László és mások írásai. Ma már számos tankönyvben és monográfiában, többnyire név említése nélkül, a Kőnig-féle bizonyítás szerepel.
Már Cantor fölvetette azt a kérdést, hogy van-e az a és a c közé eső kardinális szám? Más szóval: létezik-e olyan halmaz, amelynek számossága nagyobb, mint a megszámlálható halmazoké, de kisebb, mint a kontinuum számosságúaké. Ezt a mindmáig megoldatlan kérdést nevezzük continuum-hipotézisnek. Kőnig Gyula tudományos pályafutásának talán legkiemelkedőbb állomása az 1904-ben Heidelbergben rendezett matematikai kongresszus volt: ifjúkorának e szinte eszményített színterét világra szóló eredménnyel, a kontinuum-hipotézisre adott válasszal óhajtotta köszönteni. Ott elhangzott előadása hozta számára a legnagyobb sikert, de később a legfájóbb csalódást is. Kürschák egyik visszaemlékezéséből tudjuk, hogy a nemzetközi találkozó résztvevőire mennyire a szenzáció erejével hatott Kőnig előadásának már a puszta bejelentése is: a szekcióüléseket fölfüggesztették, hogy mindenki meghallgathassa a referátumot.
Ez az előadás két külön részből állt: Kőnig Gyula előbb bemutatta az azóta róla elnevezett halmazelméleti egyenlőtlenséget, vázolta annak bizonyítását, majd erre támaszkodva a második részben levonta a kontinuum-hipotézisre vonatkozó (téves) következtetést.
Mint már említettem, a kardinális számokra is értelmezett az összeadás és a szorzás. E műveletek fölhasználásával mond ki egy fontos tételt a Kőnig-féle egyenlőtlenség:
legyen a
d, e, f …., t (I.)
és a
D, E, F, …., T (II.)
kardinális számok sorozata olyan, hogy az (I.)-ben levők mindegyike kisebb, mint a (II.)-ben levő megfelelőjük, akkor – Kőnig tétele szerint – az (I.)-ben levő kardinális számok összege kisebb, mint a (II.)-ben levők szorzata.
A Kőnig-féle egyenlőtlenség segítségével igen fontos következtetések vonhatók le. Többek között például az is, hogy a c kardinális szám nem állítható elő megszámlálhatóan végtelen sok (és még kevésbé véges sok) nála kisebb számosság összegeként.
Heidelbergi előadásának második részében Kőnig Gyula az általa talált egyenlőtlenségre, valamint Felix Bernstein német matematikus 1901-ben közölt egyik halmazelméleti eredményére támaszkodva olyan következtetést vont le, amely válasz lett volna a Cantor-féle kontinuum-hipotézisre. A konkluzió azonban hibás volt, de nem Kőnig tévedése folytán. Bernstein ugyanis pontatlan megfogalmazásban közölte tételét, nem határolta el pontosan annak érvényességi körét, Kőnig pedig olyan esetre alkalmazta, amelyre nem igaz.
Kőnig előadása éveken át foglalkoztatta az akkori matematikusok legnagyobbjait, míg észre nem vették a Bernstein-féle tétel pontatlan megfogalmazását. Kőniget tehát semmiféleképp nem vádolhatjuk meg a kellő gondosság hiányával: Bernstein a halmazelméletnek olyan szaktekintélye volt, akinek eredményeivel szemben addig kételyek sem merültek fel. Ez azonban semmit nem változtatott azon a csalódottságon, amely Kőnig Gyulát élete végéig kísérte.
*
Heidelberg után Kőnig Gyula matematikai téren keveset hallatott magáról. Ettől kezdve egyetlen törekvése, matematikai kutatásainak centrális problémája a matematikai logika, az aritmetika és a halmazelmélet szigorú fölépítése volt. A halmazelmélet szigorúbb megalapozását az is szükségessé tette, hogy ezekben az években egyesek ellentmondásokat – antinómiáknak nevezzük – találtak, amelyek kétségessé tették az alapok szilárd voltát. (Burali–Forti, 1897; Russell, 1903; Richard, 1903.)
Egy halmazelméleti antinómia Kőnig nevéhez is fűződik, a szakirodalom „a véges számú jellel nem definiálható valós számok” antinómiája címen szokta említeni. Ezt így fogalmazhatjuk meg:
Mivel csak véges számú írásjellel rendelkezünk, ezért – igazolhatólag – pl. magyar nyelven legföljebb megszámlálhatóan végtelen sok szöveg adható meg. Válasszuk ki e szövegek közül azokat, amelyek a (0, 1) intervallumba eső valós számokat definiálják, és írjuk le ezeket szigorú értelemben vett végtelen tizedes törtek formájában egymás alá. Így megszámlálhatóan végtelen sok valós számot tartalmazó V halmazt nyerünk. Mivel azonban az említett intervallumban kontinuum számosságú valós szám van, azért szükségképp lesznek olyanok, amelyek magyar szöveggel nem értelmezhetők, tehát V-ben nem szerepelnek. V-t alapul véve ilyen valós számhoz jutunk pl. (a már említett) Cantor-féle diagonális eljárás révén. A Cantor-féle eljárás azonban, precízen leírható magyar nyelvű szöveggel – mi csak a rövidség kedvéért mellőztük ismertetését. Így máris kész az antinómia: vannak valós számok, amelyek magyar nyelvű szöveggel nem értelmezhetők és mégis értelmezhetők.
A halmazelméletben fölvetődött antinómiák a századforduló táján bizonyos válságot idéztek elő a matematikában. Kiküszöbölésén a jelen század második és harmadik évtizedeiben sokan fáradoztak. E törekvésekben két fő irányt szoktak megkülönböztetni
1. Voltak olyanok, akik a halmazelméleti antinómiák hatására az egzakt tudományok egész logikai fundamentumát fölülvizsgálták (Russell, Weyl, Brouwer, Whitehead), miközben egyesek (főként Weyl és Brouwer) elmélete a halmazelmélet, és általában a matematika számos gondolatának elvetéséhez vezetett.
2. Mások (Zermelo, Fraenkel, Schoenfliess, Neumann János, Bernays, Ackermann) a halmazelmélet olyan axiomatikus megalapozására törekedtek, hogy ebben ne lépjenek föl antinómiák.
A Cantor-féle naív halmazelmélettel szemben az axiomatikus fölépítés a húszas évek eredménye, az axiómák megfogalmazásában. (főként Neumann János közvetítésével) szerepet játszottak Kőnig Gyula gondolatai is.
*
Jelentős új eszmékkel, de kudarcokkal is szegélyezett út vezetett Kőnig Gyula minden bizonnyal legnehezebben követhető munkájához, a logika, az aritmetika és a halmazelmélet alapjairól írott művéhez. Mintegy tíz éven át töprengett az ebben foglalt rendszer megalkotásán, gondolatai a belső érés és a másoktól kapott kritikai megjegyzések alapján sokat módosultak, míg végső formájukban ki nem kristályosodtak. A könyv utolsó fejezetének írása közben hullott ki kezéből a toll. Így a matematika alapjaival kapcsolatos vizsgálódásainak e végrendelete posztumuszként látott napvilágot, anélkül, hogy a végső simításokat ő maga elvégezhette volna. Erre a nem könnyű munkára – a könyv előszava szerint – Kőnig Dénes vállalkozott, ő azonban lényegtelennek minősítette az általa eszközölt módosításokat. Egy megjegyzés szerint az előkészítés munkája során Kőnig Gyulának állandó beszélgető társa volt Kürschák József, egy korrektúrát pedig – a szerző kívánságának megfelelően – átnézett a kérdéskör alapos ismerője, Hausdorff is.
Magyar nyelven a könyvnek mindössze két – bár kétségtelenül alapvető – fejezete látott napvilágot a Magyar Filozófiai Társaság Közleményeiben.
Sajnálatos, hogy e munkának nem volt olyan átütő nemzetközi sikere, aminőt megérdemelt volna. A matematika alapjainak és filozófiai vonatkozásainak kérdéseivel azokban az években a nagy nemzetközi tekintélynek örvendő matematikusok egész sora foglalkozott, gondolataik szélesebb nemzetközi publicitásra tettek szert. Így Kőnig idetartozó eszméinek tekintélyes része más szerzők időállóbban, és talán érthetőbben fogalmazott közleményei által vált ismertté.
A könyv első fejezetei a filozófia körébe sorolandó gondolatokat tartalmaznak, ezek szigorúbban véve nem is tartoznak a matematikai logikához. Kellő előkészítés után azonban igen gondos tárgyalását találjuk a logikai műveleteknek, és a bizonyításelméletnek, magyar szerzőtől módszeres földolgozásban először. Okkal említi több helyen is Kalmár László, hogy hazánkban a matematika alapjaival foglalkozók vagy magának Kőnig Gyulának, vagy az ő közvetlen tanítványainak a tanítványai.
Gondos előkészítés után a monográfia bizonyára legjelentősebb fejezete az axiomatizált matematikai tárgykörök alapvető problémájának, az abszolút ellentmondástalanság eldöntésének „értékelés-módszer”-e.
Az ellentmondástalanság (konzisztencia) fontosságára – mint már említettem – először a Bolyai–Lobacsevszkij-féle geometria fölfedezése hívta föl a matematikusok figyelmét. Miután az új geometriának több modelljét is sikerült megteremteni az euklideszi geometriában, az utóbbinak pedig a valós számok aritmetikájában, a relatív ellentmondásmentesség kérdése a századfordulóig így alakult: a nem-euklideszi geometriák ellentmondástalanok, ha az euklideszi ilyen, ez utóbbi ugyancsak ellentmondásmentes, ha a valós számok aritmetikája konzisztens.
Idáig jutva jogosan vetette fel 1900-ban a párizsi nemzetközi matematikai kongresszuson David Hilbert az axiomatizált tudományok abszolút ellentmondástalanságának a kérdését; más szóval, olyan módszer kidolgozását szorgalmazta, amellyel az axiomatizált tudományt a konzisztencia szempontjából magában véve vizsgáljuk és nem modellizáljuk valamilyen más tárgykörben.
Négy évre rá a heidelbergi kongresszuson maga Hilbert vázolt föl erre egy módszert. Ennek az elvi jelentősége igen nagy volt, de az általa példaként közölt rendszerben olyanok voltak az axiómák és annyira szűk a megengedett matematikai bizonyításmódok köre, hogy azokra támaszkodva az aritmetikának is csupán egy kis töredéke lett volna fölépíthető.
A második lépést ezen a téren Kőnig Gyula tette meg, kidolgozva az „értékelés-módszer”-t.
Sajnos, ennek ismertetése sok matematikai-logikai előismeretet tételez fel. Csupán utalni tudok Kalmár László idetartozó fejtegetéseire, valamint a módszer alkalmazására bemutatott példáira. Az eljárás lényegét inkább csak érzékelteti Kőnig Dénes találó mondata. E szerint az értékelés-módszer azt teszi lehetővé, „… hogy a vizsgálatokat korlátoltabb szemléleti tartományba szorítsuk be, hol az ellentmondásnélküliség evidenciájára való hivatkozás teljesen, vagy legalábbis nagyobb mértékben elégít ki minket”.
A problémát tehát Kőnig Gyulának sem sikerült végérvényesen megoldania. Ez természetes is az újabb idetartozó eredmények (Gödel, Church) ismeretében.
