Matematika
Matematika
A matematika az anyagi világ konkrét jelenségeiből elvonatkoztatott általános összefüggésekkel, törvényszerűségekkel foglalkozó tudomány. A matematika két legősibb ága az aritmetika (számtan) és a geometria (mértan). Az aritmetika a számokkal végzett műveletek szabályaival és elvégzésük gyakorlati módjaival foglalkozik. A geometria a tárgyak alak és méret szerinti viszonyait vizsgálja.
A valós számok egy egyenes (az ún. számegyenes) pontjaiként ábrázolhatók. A számegyenesen kitüntetett pont a nulla (0) és az 1-nek megfelelő pont. Egész számoknak nevezzük azokat a számokat, amelyeket a számegyenesen 0-ból kiindulva a 0-tól 1-ig terjedő szakasz egymás utáni felméréseivel kijelölhetünk. A két egész szám hányadosaként felírható számokat racionális számoknak mondjuk, az így fel nem írható számokat pedig irracionális számoknak. A racionális számok mind megkaphatók egy elsőfokú, egész együtthatós algebrai egyenlet gyökeként. Így például a 2/3 szám megkapható a 3x – 2 = 0 egyenlet gyökeként, tehát abból az egyenletből, ahol az elsőfokú tag (x) együtthatója 3, a konstans tag pedig -2.
Azokat a számokat, amelyek semmilyen algebrai egyenlet gyökeiként sem kaphatók meg, transzcendens számoknak nevezzük. Ilyen pl. a kör kerületének és átmérőjének, a (π = 3, 14159265...). Az egész, a racionális, az irracionális és a transzcendens számok együttesét valós számoknak nevezzük. Minden valós szám megfeleltethető a számegyenes egy pontjának.
Vannak olyan algebrai egyenletek, amelyeknek egyetlen valós szám sem tesz eleget, pl. az x2 + 1 = 0 egyenlet. (Az ax2 + bx + c = 0 általános másodfokú egyenletnek két gyöke van:
| x1,2 = [- b ± négyzetgyök(b2-4ac)]/2a |
Az x2 + 1 = 0 egyenlet elképzelt pozitív gyökét i-vel jelöljük, tehát a szokásos formális számolási szabályok szerint i = négyzetgyök(-1). Az így definiált i szám valós számú többszöröseit imaginárius számoknak nevezzük. Az a + bi alakú számokat, ahol a és b valós számok, komplex számoknak nevezzük. A komplex számok segítségével formálisan minden algebrai egyenlet megoldható. Tényleges megoldóképlet azonban csak a legfeljebb negyedfokú egyenletekre adható, vagyis azokra az egyenletekre, ahol az ismeretlen legfeljebb a negyedik hatványon szerepel, magasabb hatványon nem. Bebizonyítható, hogy a magasabb fokú egyenletekre nem adható meg általános megoldóképlet.
A valós számok írásos ábrázolására ma használt helyiértékes eljárást a föníciaiak találták fel, és arab közvetítéssel terjedt el Európában. A rómaiak a számokat még bizonyos alapszámok egymás után írásával fejezték ki. Kisebb számnak a nagyobb elé való írása kivonást jelentett. A római alapszámok:
I = 1, V = 5, X = 10, L = 50, C = 100, D = 500, M = 1000.
Így például MDCLXVI = 1666, MCMLXXXVIII = 1988.
A számoknak a római rendszer szerinti írásmódja alapján igen nehézkes volt a számtani műveleteket elvégezni. Ezt megkönnyíti a helyiértékes írásmód, amely a számokat a számrendszer alapszámának hatványai szerinti összegek alakjában ábrázolja, pl. az általunk használt tízes számrendszer esetén
314,5 = 3×102 + 1×101 + 4×100 + 1×10-1 + 5×10-2
A számítástechnikában gyakran alkalmazzuk a kettes, nyolcas vagy tizenhatos alapú számrendszert is. Így például kettes számrendszer esetén a tízes számrendszerben 314-nek ábrázolt számot így írhatjuk fel: 100111010, mert
314 = 1×28 + 0×27 + 0×26 + 1×25 + 1×24 + 1×23 + 0×22 + 1×21 + 1×20
A kettes számrendszerben csak kétféle szám létezik, a 0 és az 1. Ez a számítógépeknél annak felel meg, hogy egy-egy szám egy-egy helyiértéket jelképező áramköri elemben éppen folyik-e áram vagy sem.
A számelmélet a matematikának az az ága, amely az egész számok tulajdonságainak vizsgálatával foglalkozik, így pl. a törzsszámok (prímszámok) törvényszerűségeivel. Törzsszámnak nevezzük azokat a pozitív egész számokat, amelyeknek önmagukon és az 1-en kívül más osztójuk nincs. Már Euklidész is tudta, hogy a törzsszámok száma végtelen; ma már azt is tudjuk, hogy minden N számra az N-nél kisebb törzsszámok darabszáma közelítőleg logN, ahol a logaritmus alapszáma az e-vel jelölt szám (ezt nevezzük természetes logaritmusnak). Az e szám, amelyet az (1 + 1/n)n kifejezés tetszőleges pontossággal megközelít, ha az n értékét egyre növeljük. Az e transzcendens szám; értéke közelítőleg, 2,71828... A logN szám alatt azt az x számot értjük, amelyre ex = N. Szokás más alapú logaritmusokról is beszélni, például IgN az N szám tízes alapú logaritmusát jelenti, vagyis azt az x számot, amelyre 10x = N. Így például: lg100 = 2, mert 102 = 100.
A geometriának egyik fontos ága a mértani szerkesztések elmélete. Ezek olyan eljárások, amelyek alapján adott mértani elemekből, meghatározott rajzeszközök segítségével, előírt feltételeknek megfelelő alakzatokat hozunk létre (pl. négyzetet). A klasszikus vagy euklideszi mértani szerkesztés eszközei a körző és a vonalzó. Vannak olyan feladatok, amelyekről bebizonyították, hogy euklideszi szerkesztés segítségével nem oldhatók meg. Ilyen feladat pl. egy szög harmadának megfelelő szög szerkesztése, vagy a kocka megkettőzése (déloszi probléma), azaz egy adott kocka éléhez megszerkeszteni egy olyan kocka élét, amely élű kocka térfogata éppen az eredeti kocka térfogatának kétszerese. Geometriai szerkesztéssel megoldható például az aranymetszés problémája, amely egy adott szakasz két részre osztását jelenti oly módon, hogy a kisebbik rész olyan arányban álljon a nagyobbikhoz, mint a nagyobbik rész a teljes szakaszhoz. Ez azt jelenti, hogy a két részszakasz aránya egymáshoz (négyzetgyök(5) + 1) : (négyzetgyök(5) – 1), azaz kb. 62:38. Az aranymetszés a művészetekben évezredek óta klasszikusan esztétikusnak tekintett arány.
A koordinátageometria a geometriának az az ága, amely a mértani elemeket egy koordinátarendszerben számokkal és függvényekkel ábrázolva geometriai problémákat számok és függvények elemzése révén old meg. Így a koordinátageometria feladatainak megoldásához a matematikai analízis módszereit és eredményeit is használja. A matematikai analízis a matematika azon ágainak összessége, amelyek a függvények tulajdonságait vizsgálják a határérték, a differenciálszámítás és az integrálszámítás fogalmainak segítségével.
A topológia a matematikának a folytonosság általános törvényeivel foglalkozó ága. A topologikus tér a geometriai tér olyan általánosítása, ahol a tér geometriai struktúrája halmazelméleti úton, pusztán az egy-egy pont környezeteihez tartozó pontok meghatározása által van megadva. Bonyolult rendszerek elemzését gyakran matematikai modellek segítségével végezzük. A matematikai modell olyan matematikai struktúra, amely a rendszer néhány alapvetőnek ítélt elemének működésmódját axiómaszerűen tartalmazza, a rendszer egyéb elemeinek vizsgálatától pedig eltekint. Axiómának nevezzük azokat a matematikai állításokat, amelyek gyakorlati tapasztalatok általánosításából származnak és amely alapállításokból egy matematikai elmélet összes állításai levezethetők. Az axiómákat a matematikai elmélet közvetlenül nem igazolja, ezért olyan egyszerű állításokat szokás felvenni axiómáknak, amelyek szemléletünk számára annyira nyilvánvalóan igazak, hogy nem is érezzük őket bizonyításra szorulóknak.
Egy adott rendszerre több matematikai modell is készíthető; a rendszer matematikai modelljei folyamatosan is finomíthatók. Így a matematika eszközeit a klasszikus fizikai alkalmazásokon kívül egyre több tudományágban, így a biológiában, a kémiában, sőt a társadalomtudományokban (közgazdaságtan, szociológia, pszichológia, stb.) is egyre szélesebb körben alkalmazzák. Ez a matematikában is több új terület kidolgozásához vezetett (halmazelmélet, matematikai logika, kombinatorika, gráfelmélet, algoritmuselmélet, információelmélet, topológia, matematikai statisztika stb.).
A halmazelmélet a matematikának az absztrakt halmazok nagyságának, mennyiségi viszonyainak vizsgálatával foglalkozó ága. Egy halmazon bizonyos dolgok, matematikai objektumok összességét értjük. Egy halmaz akkor tekinthető meghatározottnak, ha minden x dologról eldönthető, hogy eleme-e a halmaznak vagy sem. Egy halmaz számosságán véges halmaz esetén a halmaz elemeinek számát értjük. Végtelen halmazok esetén két halmazt egyenlő számosságúnak definiálunk, ha elemei között kölcsönösen egyértelmű leképezés létesíthető, vagyis a két halmaz elemei párba állíthatók úgy, hogy bármelyik halmaz tetszőleges x eleméhez egyértelműen meghatározható, hogy a másik halmaz melyik eleme az illető elem párja. Így például megszámlálható számosságúaknak nevezzük azokat a halmazokat, amelyek a pozitív egész számok halmazával egyenlő számosságúak. Bebizonyítható, hogy az összes valós számok halmaza nem megszámlálható számosságú, hanem annál nagyobb. Ezt a számosságot kontinuum számosságnak nevezzük. Kontinuum hipotézisnek nevezzük azt a feltételezést, hogy nem létezik olyan halmaz, amelynek számossága nagyobb a megszámlálható számosságnál, de kisebb a kontinuum számosságánál. Bebizonyították, hogy a matematika szokásos axiómarendszerén belül sem a kontinuum hipotézis feltételezése, sem az ellenkezőjének feltételezése nem vezethet logikai ellentmondáshoz, feltéve, hogy a matematika szokásos axiómarendszere ellentmondásmentes. Így a kontinuum hipotézis független a matematika szokásos axiómáitól, mint ahogy az euklideszi párhuzamossági axióma független a többi geometriai axiómától: elképzelhető olyan ellentmondásmentes világ, amelyben a mondott axióma igaz, és olyan is, amelyben nem igaz. Ez a felismerés vezetett a nem-euklideszi geometriák felfedezéséhez.
Egy kísérlet lehetséges eredményeit – vagy általában események együtteseit – szokás absztrakt halmazoknak is megfeleltetni. Az ilyen halmazokon definiálható az eseményalgebra struktúrája. Ebben a struktúrában értelmezik a konjunkció, a diszjunkció és a negáció műveletét. Két esemény, A és B konjunkciója az az esemény, hogy az A és a B közül legalább az egyik bekövetkezik; jele A, B vagy A+B. Az A és a B esemény diszjunkciója az az esemény, amikor mindkettő bekövetkezik; jele A, B vagy AB. Egy A esemény negációja az az esemény, hogy az A esemény nem következik be; jele AÚŮŘÂ. Az eseményalgebrákat szokás Boole-algebráknak is nevezni, műveleteit pedig logikai műveleteknek is nevezik. Az eseményalgebrák a számítógépek kapcsán tettek szert nagy jelentőségre.
A kombinatorika a matematikának a véges halmazokkal foglalkozó ága. Fő kérdéseihez tartozik különböző típusú halmazok más halmazokkal való adott típusú megfeleltetéseinek, leképezéseinek, lefedéseinek stb. vizsgálata. A kombinatorika egyik fontos részterülete a gráfelmélet. Egy gráf pontokból és ezeket összekötő vonalakból álló alakzat. A pontokat a gráf csúcsainak, a vonalakat a gráf éleinek nevezzük. A gráfelmélet a gráfoknak általános, a csúcsok és az élek konkrét helyétől független tulajdonságait vizsgálja. A gráf csúcsai jelképezhetik például egy ország városait, egy vegyület atomjait, egy elektromos hálózat elágazási egyedeit stb. A gráfokkal felírható legtöbb problémában csupán azt vesszük szemügyre, hogy bizonyos dolgok közül melyik kettő között van adott típusú kapcsolat; ezt jelzik a gráf élei. Egy gráf éleihez gyakran súly-, illetve költségértékeket is rendelnek, és ilyenkor gyakori feladat, hogy határozzuk meg két csúcs között a minimális költségű utat. Egy gráfot síkbarajzolhatónak mondunk, ha csúcsai és élei elhelyezhetők egy síkban, úgy, hogy az élek nem metszik egymást. Bebizonyítható, hogy egy gráf akkor és csak akkor síkbarajzolható, ha nem tartalmaz két ún. Kuratowski-féle gráf valamelyikével megegyező szerkezetű részt. A két Kuratowski-féle gráf:
A modern matematikának az egyik leggyakrabban alkalmazott ága a valószínűségszámítás. A valószínűségszámítás a véletlentől is függő tömegjelenségek törvényszerűségeinek feltárásával foglalkozik. Egy véletlen esemény valószínűségén azt a számot értjük, amely megadja, hogy az illető esemény az eseteknek kb. hányadrészében következik be. A nagy számok törvénye kimondja, hogy minél több kísérletet végzünk, a vizsgált esemény bekövetkezésének aránya annál jobban megközelíti a valószínűség elméleti értékét. A valószínűségszámítás elméletének korszerű, halmazelméleti úton való axiomatikus felépítése a 20. századi matematika egyik nagy eredménye.
A valószínűségszámításra épül a matematikának az az ága is, amely a különböző kommunikációs csatornákon átadott információ mennyiségének számszerű mérésével foglalkozik. Az információelméletet elsősorban a híradástechnika és a számítástechnika által felvetett problémák megoldására használják, de a kibernetika elméleti alapjai is erre az elméletre épülnek.
A matematikai statisztika a valószínűségszámításnak az az ága, amely megfigyelések és mérések eredményeiből (statisztikai mintákból) következtet a tényleges valószínűségre, eloszlásokra vagy a mintákkal kapcsolatos hipotézisek elfogadhatóságára. Az ilyen következtetéseknek az eszközei a statisztikai próbák, amelyek egy-egy, a mintával kapcsolatos hipotézis vizsgálatára szolgálnak. Ilyen hipotézis lehet pl. az, hogy a férfiak és a nők között egy bizonyos mért adat tekintetében nincs különbség, tehát hogy a mérésnél észlelt különbségek véletlenszerűek. A felállított hipotézist nullhipotézisnek nevezik. A statisztikai próba eredményeként a nullhipotézist vagy elvethetjük, vagy nem. Az első esetben a próba alapján azt is megmondhatjuk, hogy ez a döntés milyen valószínűséggel téves, tehát, hogy milyen valószínűséggel vetjük el a hipotézist a csalóka adatok hatására, holott a hipotézis maga valójában mégis igaz. Ezt a valószínűséget szignifikanciaszintnek nevezzük. Ha azonban nem tudjuk elutasítani a nullhipotézist, az még nem bizonyítja, hogy a hipotézis igaz, csak azt, hogy nincs elég okunk elvetni. Így a matematikai statisztika általában alapvetően indirekt (közvetett) módon bizonyít: pl. ha azt akarjuk kimutatni, hogy egy kezelés hatásos, akkor nullhipotézisnek azt vesszük föl, hogy a kezelés hatására nem történt változás, és ha ezt a nullhipotézist sikerül elutasítani, akkor tekinthetjük a kezelés hatásosságát (az adott szignifikanciaszinten) bizonyítottnak.
A valószínűségszámítás egy másik gyakori alkalmazása a sztochasztikus folyamatok elmélete. A sztochasztikus folyamat egy rendszer időbeli állapotváltozásainak leírására szolgáló matematikai modell, amelyben a változásokat a véletlentől is függőnek tekintjük.
A matematikai modelleket gyakran bonyolult rendszerek szimulációjára is használják. Ilyenkor a rendszert nem a maga teljes fizikai (vagy kémiai, biológiai stb.) bonyolultságában elemzik, hanem azt vizsgálják, hogy a rendszer egyszerűsített, elméleti modellje hogyan változik bizonyos hatások esetén. Pl. nem tényleges és költséges rakétát építenek, hanem egy számítógép képernyőjén vizsgálják a rakéta modelljének viselkedését különféle körülmények között. Egy keresett valószínűség értékét sok esetben azért sem tudjuk pontosan kiszámítani, mert kezelhetetlenül bonyolult matematikai formulák merülhetnek fel. Ilyen esetekben gyakran alkalmazzák az ún. Monte Carlo–módszereket.
Ezek a módszerek úgy oldják meg a feladatot, hogy a vizsgált modellt sokszor realizálják véletlen adatokra, és a nyert megfigyelésekből következtetnek a keresett valószínűségre. A Monte Carlo-módszerek gyakorlati problémák megoldására rendkívül hasznos közelítő eszköznek bizonyultak.
