Határérték
Határérték. A matematikában a H. v. limes fogalma a végtelen számsorozatok elméletében és a függvénytanban lép fel. Valamely
| a1, a2, ... , an ... |
végtelen számsorozat H.-e alatt azt az A számot értjük, melyre nézve bármely tetszés szerint választott pozitiv δ számhoz lehet egy (a δ-hoz tartozó) v pozitiv egész számot ugy meghatározni, hogy an - A abszolut értéke kisebb mint δ, ha csak n nagyobb mint v . Ily esetben azt is mondjuk, hogy A az an határértéke, ha n a pozitiv egész számok során át minden határon tul növekedik. Képletben:
| lim an = A |
(olv. limes an egyenlő A-val), P. azt, hogy
számsorozat H.-e az egység, röviden igy szoktuk kifejezni:
Nem minden számsorozatnak van H.-e, azaz nem minden számhoz található a mondott tulajdonsággal biró A szám, hanem csak a szabályos számsorozatokhoz. Valamely végtelen számosorozatot akkor mondunk szabályosnak, ha bármely tetszés szerint választott pozitiv δ számhoz lehet egy v közönséges egész számot ugy meghatározni, hogy ao - an abszolut értéke kisebb mint δ, ha csak m és n nagyobb mint v .. - A nem szabályos számsorozatok közül H.-et egyedül az olyan sorozatoknak tulajdonítunk, melyekre nézve a reciprok értékéből képezett
| 1/a1, 1/a2, ..., 1/an, ... |
számsorozatot szabályos és
| lim 1/an = 0 |
De az ily nemszabályos számsorozatok H.-e nem valamely véges számérték, hanem a végtelen (∞).
P. az:
| 1, 4, 9, ... , n2, ... |
számsorozat H.-e ∞, mert az
| 1, 1/4, 1/9, ...., 1/n2, ... |
számsorozatszabályos és
| lim 1/n = 0 |
Rokon, de komplikáltabb fogalom a függvénytanban
vagyis az f (x) függvény határértéke az a helyen.
Ennek értelmezésénél jelentsen
| (1) | a1, a2, ... , an, ... |
egy olyan számsorozatot, hogy a lim an = a, de különben e sorozat egészen tetszés szerint választható. Továbbá képezzük rendre f (x) értékét az a1, a2, ... , an, ... helyeken. Ha az igy nyert
| (2) | f(a1), f(a2), ..., f(an), ... |
számsorozatnak van H.-e, s e H. mindig ugyanaz, bárhogyan választjuk is a végtelenül sok lehetséges mód közül az (1) alatti számsorozatot, akkor a (2) alatti számsorozat H.-éről azt mondjuk, hogy az f(x)-nek H.-e az a helyen. A legfontosabb H.-ek:
H. a nemzetgazdaságban, l. Érték.
