Különbségek elmélete
Különbségek elmélete (véges különbségek elmélete). Hogy ha
y0, y1, y2, y3, y4, ...
a számoknak valamely tetszés szerinti törvényt követő véges vagy végtelen sorozatát jelenti, akkor az
y1-y0, y2-y1, y3-y2, y4-y3, ...
sorozat tagjait rendre igy jelöljük:
Δy0, Δy1, Δy2, Δy3, Δy4, ...
Az ehhez a sorozathoz tartozó számokat az adott sorozat első v. elsőrendü különbségeinek nevezzük. Ugyanazon a módon amint az adott sorozatból képeztük az első különbségek sorát, ebből képezhetjük az adott sorozat második különbségeinek sorát:
Δ2y0, Δ2y1, Δ2y2, ...
ahol általánosságban
Δ2yk= Δ2yk+1 - Δ2yk, ...
A második különbségek tehát az első különbségek első különbségei. Hogy ha a számok adott sorozata végtelen sok tagból áll, ezzel az eljárással még végtelen sok új sort képezhetünk:
Δ3y0, Δ3y1, ...
Δ4y0, Δ4y1, ...
........................
Δny0, Δny1, ...
melyekben általánosságban
Δnyk= Δn-1yk+1 - Δn-1yk, ...
E sorok rendre tartalmazzák az adott sorozat 3-dik, 4-dik, ..., n-dik ... különbségeit. Hogy ha azonban az adott sorozat csak n+1 tagból áll, az első különbségek sora már csak n, a 2-dik különbségeké n-1 stb., és végre az n-dik különbségeké egyetlen egy tagból fog állani. Hogy ha az n-dik különbségek sorában az összes tagok egyenlők, minden az n-diknél magasabbrendü különbségek sora csupa o-ból fog állani. Ebben az esetben az adott sor tagjai n-edrendü számtani haladványt képeznek (l. Haladvány).
A K.-ben két alapvető feladattal találkozunk. Az egyik megköveteli, hogy az n-edrendü különbségeket az adott sor tagjai által fejezzük ki, a második pedig, hogy az adott sor tagjait a különbségekből állítsuk elő. E feladatok megoldását a következő képletek szolgáltatják:
A K.-nek szerepe jut a differenciálszámolás némely fejezetében. Leggyakrabban interpoláció-képletek levezetésénél használják, hol az a feladat, egy racionális egész függvényt előállítani, melynek értéke a független változónak egy számtani haladványt képező x0, x0+h, x0+2 h, ..., x0+nh értékei mellett valamely f(x) függvény értékével megegyezik. Hogy ha az f(x) függvény folytonos és h-t elég kicsinynek választjuk, az igy megállapított egész függvény a független változónak más x0 és x0+nh közt fekvő értékei mellett is közelítő értékét fogja szolgáltatni az f(x) függvénynek.
