SZEREPE A KÉT BOLYAI MEGISMERTETÉSÉBEN
SZEREPE A KÉT BOLYAI MEGISMERTETÉSÉBEN
Másutt már említettem, hogy 1871-ben Kőmig Gyulát a négytagú Bolyai Bizottságba választották. E bizottság feladata az volt, hogy a Marosvásárhelyről Pestre szállított gazdag Bolyai-hagyatékot rendezze, és az arra érdemesnek ítélt részek kiadását előkészítse. Ebben az aprólékos, szinte levéltári munkában érdemlegesen Kőnig nem vett részt, más irányú teendői akadályozták meg benne. Viszont jelentős volt a szerepe Bolyai Farkas Tentamenje, valamint Bolyai János Appendixe második kiadásának az előkészítésében. A Tentamen második kiadásának első kötetét Kőnig Gyula és Réthy Mór szerkesztette, és ez 1897-ben jelent meg. Kettőjük közül Kőnig játszotta a fontosabb szerepet: ő vette észre a munkában levő új tételek jelentőségét, de azt is, hogy melyek azok, amelyek további vizsgálatokat igényelnek, esetleg általánosíthatók is. Buzdítására kezdett Réthy Mór a Bolyai Farkas által definiált „végszerű területegyenlőség” kérdéskörével behatóan foglalkozni, és az idetartozó – ma is folyó – vizsgálatok első jelentős értekezéseit is ő publikálta. Farkas Gyulát az ugyancsak Bolyai Farkastól származó iterációs gyökközelítő eljárás konvergencia-kérdéseinek tisztázására lelkesítette Kőnig, ilyen módon is több figyelemreméltó tanulmány született.
Ismeretes, hogy Bolyai János Appendixének utolsó paragrafusai „abszolút-geometriai” szerkesztéseket tartalmaznak. Az ezekhez kapcsolódó egyik nyitott témára Kőnig Kürschák József figyelmét hívta föl. Így származott Kürschák egyik legtöbbet emlegetett szép eredménye. Ugyanis a Hilbert-féle axiómarendszer négy első axiómacsoportjára támaszkodó, ún. abszolút szerkesztésekben nincs szükség körvonal megvonására, ezekben a körző szerepe csupán távolságok átvitelére szorítkozik. Mármost Kürschák olyan szerkesztést talált, amelynek segítségével tetszőleges szakaszhossz átrakható az egyszer s mindenkorra megadott szakaszhossz átvitelére alkalmas – rögzített nyílású – egységátrakóval, az etalonnal.
Kezdeményező szerepe volt Kőnignek a Bolyai Díj létesítésében. Ezt a Magyar Tudományos Akadémia Bolyai János születésének centenáriuma alkalmával alapította azzal a kikötéssel, hogy a díj először 1905-ben adandó ki, ezt követőleg pedig minden ötödik évben „a bárhol és bármely nyelven megjelent legkiválóbb matematikai vizsgálatokért”. A díj tízezer korona és hozzá 600 korona értékű aranyérem volt. Arról is határoztak, hogy az odaítélésről két magyar és két külföldi tagból álló bizottságnak kell döntenie.
A szép kezdeményezést csak két ízben lehetett valóra váltani: 1905-ben a bizottság (Kőnig, Rados, Darboux, F. Klein) Poincarét, 1910-ben (Kőnig, Rados, Mittag-Leffler, Poincaré) Hilbertet tüntette ki. Sajnos ennek – a Nobel-díjjal csaknem egyenértékű – kitüntetésnek az első világháború véget vetett.
*
Az említett néhány adat Kőnig mindennek a mélyébe látó kritikai érzéket igazolja, viszont egyik fiatalkori értekezéséből, amelynek tárgya a Bolyai-geometriához kapcsolódik, az újszerű iránti fogékonysága tűnik ki. Vizsgálatának ismertetése előtt néhány idetartozó geometriai tényt említek.
A Bolyai–Lobacsevszkij-geometria elfogadását sokáig a szemlélet számára szokatlan voltuk késleltette, valamint az a kérdés, hogy nem tartalmaznak-e belső ellentmondást. Egy, valamilyen axiómarendszerre épített tudományt akkor nevezünk ellentmondástalannak, ha axiómáira támaszkodva nem lehet egyidejűleg egy tételt és annak a. tagadását is bebizonyítani. E kérdés eldöntésének a fontosságát geometriai fölfedezése során már Bolyai János észrevette, iparkodott is azt bizonyítani, azonban végleges megoldáshoz nem jutott.
A nem euklideszi geometriák ellentmondástalanságának a vizsgálatában a modellalkotás bizonyult a legjárhatóbb útnak. Ennek lényegét –, csaknem szó szerint átvéve Kárteszi Ferenc ötletes magyarázatát – a következőként írhatjuk le:
Jelölje pl. a hiperbolikus geometria axiómarendszerét a H betű. A H rendszer „pont”-ról, „egyenes”-ről, „sík”-ról, és ezeknek ama vonatkozásairól szól, amelyeket (Hilbert kifejezéseit használva) az „illeszkedik”, „közte van”, „egybevágó”, „párhuzamos” és „folytonos” szavakkal fejezünk ki. Idézőjelben azért szerepelnek e szavak, hogy a nekik megfelelő (számunkra megszokottabb) euklideszi geometriai fogalmaktól megkülönböztessük. Tekintsük az euklideszi geometria bizonyos elemeit – nem feltétlenül pontjait vagy alapelemeit –, s nevezzünk egyeseket „pont”-oknak; bizonyos más fajta euklideszi elemeket „egyenesek”-nek, bizonyos harmadik fajtát „síkok”-nak. Tekintsünk továbbá ezek között az euklideszi fogalmak között értelmezett bizonyos vonatkozásokat (amelyek lehetnek az euklidesziekből leszármaztatott, összetett vonatkozások is) „illeszkedés”-nek, „köztelevés”-nek, „egybevágóság”-nak, „párhuzamosság”-nak, „folytonosság”-nak.
Olyan eljárás ez, mint amikor a térképhez jelmagyarázatot adunk. (A köröcske: „város”; a pontozott vonal: „megyehatár” stb.) Ilyen módon az euklideszi geometriában mintegy térképet készítettünk a H axiómarendszer logikai szerkezetének az ábrázolására. Ezen a térképen a H axiómái valamilyen euklideszi állítás formájában visszatükröződnek. Az ilyen térképet nevezzük modellnek, és az alkalmas térképről azt mondjuk, hogy a modell megvalósítja a H axiómarendszert. Belátható, hogy valamely nem euklideszi geometria ellentmondástalanságának a kérdését modellalkotással vissza lehet vezetni az euklideszi geometria ellentmondás-mentességének a problémájára.
Meg kell említenem, hogy modellalkotás először magában a Bolyai–Lobacsevszkij-féle geometriában szerepelt, bár az ebben levő eljárás az előbb leirtnak mintegy a fordítottja: Bolyai János és Lobacsevszkij ugyanis a hiperbolikus térben határozott meg olyan felületet (paraszféra), amelyen az euklideszi síkgeometria megvalósul. 1868-ban Beltrami olasz matematikus az euklideszi térben definiált olyan felületdarabot (pszeudoszféra), amelyen a hiperbolikus síkgeometria valósul meg. A különféle geometriai modellek közül az egyik legismertebb a Cayley–Klein-féle, ezt 1871–72-ben tette közzé Felix Klein.
Ilyen előzmények után 1872-ben Kőnig Gyula egy eljárást közölt arról, hogy miként lehetne a konstans (pozitív vagy negatív görbületű terek sík-, illetve térbeli alakzatait az euklideszi térben szemléltetni. A nehézséget az okozza, hogy – Riemann és Helmholtz egy régebbi megjegyzése szerint – a „görbült” terek geometriai alakzatainak euklideszi szemléltetésében az is szükséges, hogy a „térgörbületet” figyelembe vegyük. Ez kétdimenziós nem euklideszi síkbeli alakzatoknál még megoldható azáltal, hogy a pont két koordinátájához harmadikként hozzávesszük az e pontbeli görbületet, és az, így nyert rendezett értékhármast a háromdimenziós euklideszi tér egy pontjának tekintjük. A háromdimenziós nem euklideszi alakzatok szemléltetése azonban ilyen módon már nem megy, hisz ahhoz négydimenziós euklideszi tér lenne szükséges.
Kőnig Gyula elgondolása szerint azonban ez a nehézség is elhárítható – legalábbis elvileg –, ha kölcsönösen egyértelmű megfeleltetést létesítünk a görbült terek alakzatai és a háromdimenziós euklideszi tér alkalmasan választott egyeneskomplexusai között.
A leképezés lényege könnyebben érthető, ha azt előbb – Kőnig után – a zérus görbületű (euklideszi) térre alkalmazzuk. Vegyünk föl egy alapsíkot, továbbá egy ezen kívül levő, de vele párhuzamos alapegyenest. Jelöljünk ki az alapsíkon derékszögű koordináta-rendszert, az alapegyenesen pedig kezdőpontot. Ha az euklideszi tér P (x, y) pontjának azt az egyenest feleltetjük meg, amely a síkbeli koordináta-rendszer (x, y) pontját az alapegyenes z pontjával köti össze, akkor az euklideszi tér alakzatai egyeneskomplexusokba mennek át; megfelelő ábra segítségével meggyőződhetünk arról, hogy pl. az (x, y) síkon levő egyenesek síkokba mennek át, a csavarvonaldarab képe bizonyos vonalfelület. A leképezés bármilyen geometriai alakzat esetében végrehajtható, de a kép nem mindig tekinthető át. Mindenesetre az „illeszkedés”-nek, a „köztelevés”-nek stb, a leképezésben is van megfelelője; annak sincs elvi akadálya, hogy szögmérést vezessünk be, hiszen pl. szöget bezáró két egyenesnek a képen két egymást metsző vonalalakzat felel meg.
Kőnig szerint ezt az eljárást a nem euklideszi terek vonalkomplexusokba való leképezésére is alkalmazhatjuk, ha biztosítjuk, hogy a tér „görbültség”-ének a képen is legyen megfelelője. Ezt pedig úgy érhetjük el, hogy a fentebb említett „alapsík” és a vele párhuzamos „alapegyenes” helyett alapalakzatokként olyan görbült felületet és görbét veszünk fel, amelyek görbülete megegyezik a leképezendő nem euklideszi tér görbültségével. Egyébként. teljesen az előbbi módon kell eljárnunk, vagyis: az „alapfelület”-en kijelölünk egy felületi koordinátarendszert, az „alapgörbé”-n kezdő pontot. A nem euklideszi tér P(x, y, z) pontjának most egyenest feleltetünk meg, mégpedig azt, amely a felületi koordináta-rendszer (x, y) pontját összeköti az alapgörbe z pontjával. Így a nem euklideszi tér „pont”-jának, „egyenes”-ének és „sík”-jának a szemléltetésben rendre „egyenes”, „vonalfelület” és bizonyos „egyenes-sereg”, a nem euklideszi tér „görbültség”-ének az alapalakzatok „görbület”-e felel meg. Ha az alapfelületet és az alapgörbét olyan pontokban, amelyekben a felület érintősíkja és a görbéhez húzott érintő párhuzamos, az érintő síkkal és az érintővel helyettesítjük, akkor „kicsiben” az euklideszi tér leképezésére alkalmazott modellhez jutunk. Ez felelne meg annak a tételnek, hogy a görbült terek elegendő kicsiny térrészében az euklideszi geometria tételei érvényesek.
Kőnig értekezése nagyon vázlatos, ötletének részletekbe menő kifejtése, a térkép teljességének igazolása mindmáig nem történt meg. Érdeme mégsem hallgatható el: az elsők között ő is fölismerte a geometriai modellalkotás jelentőségét, ezért tanulmánya nem méltatlan a tudományos vizsgálatait éppen csak megkezdő fiatal matematikushoz. Elgondolása külföldön nem keltett figyelmet, bizonyára azért, mert csakhamar a Bolyai–Lobacsevszkij-geometria alaposabban kidolgozott modelljeit közölték. Ugyanakkor a hazai sajtó – még a napilapok is – több helyen foglalkoztak vele. Ma is említést érdemlő újszerűségének fölidézése Kalmár László különböző írásainak és egyetemi előadásainak az érdeme.
