Függvény
Függvény (Function, fonction). Ha két változó mennyiség (l. Számtartomány és Változó) x és y oly vonatkozásban áll egymáshoz, hogy x minden bizonyos T számtartományhoz tartozó értékének megfelel y-nak egy vagy több értéke, akkor y-t az x független változó függvényének nevezzük. E függvénykapcsolatot rendszerint igy jelöljük: y = f(x). Ha az
x1, x2,..., xn
független változók bizonyos Tn n-dimenziós tartományának minden értékrendszeréhez bizonyos előirás alapján található y-nak egy vagy több értéke, akkor y az x1, x2,..., xn, teház n számu független változónak függvénye és megint y = f(x1, x2,..., xb)-nel szokott jelöltetni. Igy p. két adott nagyságu tömeg egymásra gyakorolt vonzóereje e tömegek egymástól való távolságának, tehát egy változónak függvénye; mig valamely gáz térfogata a hőmérséklet és nyomásnak, tehát két változónak függvénye. A független változónak amaz értékeit vagy értékrendszereit, amelyekre a függvénykapcsolat meg van állapítva, a F. értelmezési tartományának nevezzük, mig amaz értékek összességét, amelyeket a függvény felvesz, fogalmilag értékkészlet elnevezés alatt foglaljuk össze. A függvény e legáltalánosabb értelmezése alapján keletkező fogalomalkotás körnek tulságos tág voltánál fogva speciális tanulmányra nem ad alkalmat. Azért a függvénytan már eleve bizonyos speciális tulajdonságokkal ruházza fel ama F.-eket, melyeket tárgyalni akar és aszerint, amint e tulajdonságok különféleképen választatnak, más és más F.-osztályok fognak keletkezni, amely osztályok jellemző tulajdonságainak kifejtése, valamint az egyes ily osztályok közötti kapcsolatoknak kiderítése képezi a F.-tan főfeladatát. Ily megszorító, speciális tulajdonságok a legkülönbözőbb módon választhatók. Igy p. valós változó valós függvényét tárgyalván, azt követelhetjük, hogy az f(x) F.-nek a T számköz minden helyén legyen bal(jobb)oldali határértéke, azaz, ha a x T-nek tetszés szerinti helye és
x1, x2,..., xn,...
a T-nek oly növekedő (fogyó) számsorozata, amelynek határértéke x, hogy akkor az
f(x1), f(x2),..., f(xn),...
függvényértékek sorozata is meghatározott határértékkel birjon, mely független az (x1, x2,...) sorozat speciális választásától.
A F.-tan most azt a kérdést veti fel, hogy e speciális tulajdonságból minő egyéb tulajdonságok következnek. Ime a F.-tani elmélkedés egy felette érdekes eredménye: a baloldali határértéknek T minden helyén való létezése egyedül már maga után vonja azt, hogy f(x) T-nek minden részletközében integrálható F. (Dini tétele; l. Infinitezimális számítás). Ha a függvényünket akként szorítjuk meg, hogy egy bizonyos x helyen jobb- és baloldali határértékkel birjon és ez a két határérték megegyezzék a helyettesítési értékkel, azaz azzal az értékkel, melylyel a F. értelmezésénél fogva az x helyen bir, akkor az x helyen folytonos. Komplex változó F.-ének esetében az x helyre nézve határérték csakis akkor létezik, midőn akármilyen
x1, x2,..., xn,...
sorozatra nézve, melynek határértéke x, képezvén az
f(x1), f(x2),...; f(xn),...
F.-értékek sorozatát, ennek az (x1, x2,..., xn,...) sorozat speciális választásától független határértéke van. Komplex változó függvénye az x helyen folytonos, ha e helyre nézve ismét a határérték megegyezik a helyettesítési értékkel. A F. értelmezési tartományának ama helyeit, aelyeken a függvény nem folytonos, szakadó helyeknek nevezzük. E szakadó helyek ismerete a F. jellemzésében kiváló szereppel birnak. A folytonosságnál még speciálisabb tulajdonság a differenciálhatóság tulajdonsága. E függvények osztálya, az ortóid vagy differenciálható függvények osztálya még kiterjedtebb elméletre ad alkalmat, mint a folytonos F.-ek osztálya.
A F.-eket rendszerint analitikai kifejezés segítségével értelmezzük. Analitikai kifejezés oly kifejezés, amely oly véges vagy konvergens végtelen algoritmus segítségével előállítható, amely csakis az első négy alapműveletből van összetéve. A legegyszerübb ily analitikai kifejezések a racionális egész kifejezések; ilyen:
a0 + a1x + ... + anxn;
ezek az x n-edfoku racionális egész F.-t definiálják. Ennek értelmezési tartománya, valamint értékkészlete felöleli a komplex számok összességét, egyetlen szakadó helye x = ∞, amely n-edrendü végtelen helye. Két racionális egész függvény hányadosa racionális tört-F.; ez ugyanoly viselkedésü, mint a racionális egész F., azzal a különbséggel, hogy a végesben fekvő szakadó helyekkel is bir; ezek véges számban vannak és közönséges végtelen helyek, amelyek mindegyikének rendszáma pozitiv egész szám. Zérus- és végtelenhelyeinek száma megegyező. A racionális F.-ek legközelebb fekvő általánosítását az analitikai F.-ek képezik. Ezek ugyanis oly F.-ek, amelyeket bizonyos
az a bizonyos környezetében feltétlenül összetartó hatványsor és ennek folytatásai definiálnak. Ha az analitikai F.-nek lényeges szakadó helye nincsen, akkor algebrai F.-nek neveztetik. Az algebrai F.-ek mindenkor kielégítenek oly algebrai egyenletet, amelynek együtthatói a független változónak racionális egész függvényei. Ha x = ∞ az egyetlen lényegtelen szakadó helye, akkor algebrai egész F. Az elgebrai F.-ek több értékü, de nem végtelen sok értékü F.-ek. Ama helyek, amelyeknek körülirásánál a folytonosan összefüggő függvényértékek egyik sorozata vagy - mint mondani szokás - egyik ága átmegy egy másik ágba, az albegrai F. elágazási helyei.
Ha az analitikai F.-nek van lényeges szakadó pontja, akkor transzcendens F.-nek neveztetik. Ha x = ∞ az egyetlen szakadó hely, akkor a transzcendens F. transzcendens egész F.-nek neveztetik. A transzcendens F.-ek között többen már az elemi matematikában is szerepelnek. Ilyenek a trigonometrikus F.-ek és a kitevős F., valamint ezek megfordításai: a körmérési F.-ek és a logaritmus. A kitevős F.-t az
mindenütt összetartó hatványsor; a trigonometrikus függvényeket a
hatványsorok definiálják. E mindenütt összetartó hatványsorok közvetetlenül evidenciába léptetik az eix = cos. x + i sin x
Eulertől származó relációt, mely a trigonometrikus és kitevős F. közti igen egyszerü kapcsolatot tünteti fel. E három F. transzcendens egész F.; mindegyikök szakaszos (l. Szakaszos függvény), miként ezt az
ex+2kπi = ex, cos. (x+2kπ) = cos. x,
(k egész szám)
sin. (x + 2kπ) = sin. x
egyenlőségek mutatják; végül mindegyiküknek van u. n. összeadási tétele. Valamely f(x)F. akkor bir algebrai összeadási tétellel, ha van oly
G [f(u + v), f(u), f(v),] = o
egyenlet, amelyben a G. az u- és v-től független együtthatókkal biró racionális egész kifejezés és amelynek az f(x) F. u és v-nek minden értékénél eleget tesz. A kitevős függvényre nézve a
G[eu+v, eu, ev] ≡ eu+v - eu ev = o
egyenlet, a koszinusra nézve pedig a
G[cos. (u + v), cos. u, cos. v.] ≡
[cos. (u + v) - cos. u. cos. v]2 -
(1-cos.2u) (1 - cos.2v) = o
egyenlet fejezi ki az összeadási tételt. A kitevős F.-nek, valamint a trigonometrikus F.-eknek utóbb felemlített tulajdonsága arra az általános kérdéstételre vezet, hogy vajjon általában minő analitikai függvények birhatnak algebrai összeadási tétellel. A feleletet megadja Weierstrass következő tétele: Ha f(u) oly F., melynek van algebrai összeadási tétele, akkor mindössze három eset lehetséges:
1. f(u) u.-nak algebrai F.-e,
2. f(u) az e piu/w-nak algebrai F.-e, hol ω alkalmasan választott számérték;
3. f(u) p(u)-nak algebrai függvénye, hol p(u) a
differenciálegyenletnek ama partikuláris megoldása, mely az u = o helyen végtelenné lesz, a g2 és g3 pedig alkalmasan választott állandók.
Az összeadási tétellel biró analitikai F.-ek között különösen fontosak az egyértéküek; ezek vagy u-nak vagy e piu/w-nak, vagy pedig p(u) és (dp/du)-nak racionális függvényei. Az egyértékü és algebrai összeadási tétellel biró F.-ek mindannyian szakaszos F.-ek. A f(u) akkor szakaszos, ha van oly w szám, amelyre nézve az
f(u + w) = f(u)
egyenlet u-nak minden értékénél fönáll. Ha az összes szakaszok 2ω számnak többszörösei, akkor a F. egyszerüen szakaszos; minden más esetben az algebrai összeadási teorémával biró egyértékü F.-ek kettősen szakaszosak, azaz létezik két szám, 2ω és 2ω1, amelyek segítségével egy tetszőleges szakasz
w = 2vω × 2v'ω'
alakban állítható elő, amelyben v és v' egész számok. A kettősen szakaszos F.-ek közül azok, melyeknek egyetlen lényeges szakadó helyük az u = ∞ helyen van, a szó legáltalánosabb értelmében vett elliptikus F.-ek. Minthogy minden elliptikus F. p(u) és ∞-nak racionális F.-e, elégséges ezekkel behatóbban foglalkozni.
A p(u)-t a következő egyenlőség definiálja:
és a ΣΣ' összegzés a v = o, v' = o értékrendszer kivételével v és v' minden egészszámu értékére kiterjesztendő. A p(u), mint innen látható, a 2ω és 2ω' primitiv szakaszokkal bir (l. Szakaszos függvény), de ezenfelül mint ω és ω' függvényét tekintve is igen nevezetes tulajdonsággal bir, hogy t. i. e változóknak modulfüggvénye. A Φ (ω, ω') ω és ω' változók modulalakja, ha az ω és ω' változók bármely unimoduláris egészszámu együtthatókkal ellátott helyettesítésénél változatlanul marad, tehát a
egyenlőség mindig fönáll, valahányszor az α, β, γ, δ egész számok az αδ - βγ = 1 egyenletet kielégítik. Ha
egyenlőséget kielégíti, valahányszor αδ - βγ = 1, akkor Ψ modul-F.
Ilyen modulalakok p.:
a legegyszerübb modul-F.
A τ változónak modul-F.-ei tehát azon függvények, amelyek a
lineáris helyettesítés alkalmazásánál változatlanul maradnak, ha α, β, γ, δ oly számok, melyekre nézve a helyettesítés determinánsa αδ - βγ = 1. E helyettesítések csoportot alkotnak. Ha e speciális csoport helyett általánosabb lineárcsoportot veszünk alapul és keresünk ama F.-eket, melyek ennek a csoportnak helyettesítéseinél maradnak változatlanul, akkor a Poincarétől feltalált Fuchs- és Klein-féle F.-ekhez jutunk, melyeknek főfontosságuk abban van, hogy segítségükkel mindama lineár differenciálegyenletek zárt alakban integrálhatók, melyeknek együtthatói algebrai F.-ek. Az elliptikus F.-ek megfordítása az elliptikus integrálokra vezet. Elliptikus integrál az olyan, mely az
általános alakból akként keletkezik, hogy R. helyébe racionális F.-t és G(x) helyébe oly egész F.-t teszünk, melynek fokszáma 3 vagy 4. Ha G(x) fokszáma a 4-et meghaladja, akkor a hiperelliptikus integrálokra jutunk. Ha végül a felirt integrálban √G(x) helyett az x-nek tetszőleges algebrai függvényét használjuk, az Abel-féle integrálokat nyerjük. Ezeknek elméletében alapvető az összeadásukra vonatkozü Abel-féle teoréma, amelynek segítségével inverzió utján eljutunk az Abel-féle F.-ekre, amelyek mint az elliptikus függvények általánosításai tekinthetők.
Végül még felemlítendők a gyakorlati alkalmazásuknál fogva fontosabb függvényosztályok között a béta-F.-ek, gamma-F.-ek, gömb-F.-ek és Bessel-féle F.-ek. A bétafüggvényt a
a Γ-függvényt a
egyenlet definiálja. A gömbfüggvények az
hatványsor együtthatói, ugy hogy az n-edik gömbfüggvény a következő:
n-edfoku racionális egész függvény. Ha végül a
határérték 0-adik Bessel-féle függvénynek nevezzük, akkor az
kifejezés értelmezi az n-edik Bessel-F.-t.
Az eddig felsorolt F.-ek valamennyien monogén, azaz komplex változónak függvényei. Az
f(x,y) = ϕ(x, y) = iφ(x,y)
két változós függvény akkor neveztetik monogénnek, ha a valós része a
másodrendü parciális differenciálegyenletet kielégíti. E differenciálegyenletben tartalmazott megszorítás szülőoka ama nagyobb törvényszerüségnek és egyszerüségnek, melylyel a komplex változó függvényének elmélete a valós változó függvényének elméletét kétségtelenül felülmulja.
