A XV. és XVI. században szerepelt, és kihalt.
György 1492-ben lett szörényi bán, bátyja helyébe, ki a szörényi várát ostromlott törökökön vett győzelem után török fejekkel rakott két szekeret indított Budára a diadal jeléül, de utjában meghalván, azt György teljesíté, ki 1505-ben mint belgrádi bán volt jelen a rákosmezei országgyűlésen. E György 1514-ben már nem élt és neje Dóczy Katalin, akkor már Losonczy Zsigmond neje volt; midőn Györgynek fia László testvérei György, Erzse, Kata, és Borbála nevében is megnyugtatja mostoha atyjokat, nevezett Losonczy Zsigmondot, hogy néhai atyjok Móré György utáni ősi javaikat tőle megkapták.
Györgynek fia László ifju korában II. Ulászló király udvarában forgott, először 1514-ben a kurucz háborúban Bornemisza János alatt fogott fegyvert. Jelen volt 1526-ban Mohácsnál unoka testvérével Fülöp püspökkel. 1527-ben I. Ferdinánd király részén állt; azonban utóbb a fegyvernyugvás ideje alatt főleg a dunántóli vidéken rablásokkal vádoltatván, Palota várában ostrom alá vétetett, ő ugyan a várból elillant, de tömérdek kincseivel fia s leánya is elfogatott. 1537-ben ismét háromszáz huszárral táborozik Eszék táján Ferdinánd részéről. E táborozás szerencsétlen kimenetele után szintén megmenekülvén, Szent-Erzsébet várába futott, mely szintén birtoka volt. Előbb pedig, mióta Palota váraból megszökött, Pozsega táján Rohacs várában lakott. 1543-ban a törökök Acsinát, Sapronczát, Pozsegát és egyéb várakat is elfoglalván, és így nyugton Rohacson sem maradván, miután Pozsony megyei Vöröskő várát Thurzó Eleknek eladta, a Mátra tövében Nána várába, melyet rokona Losonczy István birt, vette magát. Hatalmaskodásait folytatván, Nána várában ismét ostrom alá vétetett még pedig most már a törökök által, kik által két fiával együtt elfogatván, Konstantinápolyba vitetett, s ott halt meg. Fiai közűl az idősb 1554-ben Kapudsi pasa lett. Neje Bakos Magdolna, előbb Ujlaky Lőrincz özvegye volt.
I. Györgynek testvére Péter 1494-ben követségben járt a török portán. Ennek fia lehetett Fülöp egri prépost, 1524-ben pécsi püspök, követségben járt Velenczében, hanem hazajövet nemsokára elesett 1526-ban Mohácsnál.
Tudható családfájok így áll:
Móré N.; Péter 1494.; I. György belgrádi bán 1505. (Dóczi Kata.); Fülöp pécsi püspök elesett 1526.; László 1514. 1537. (Bakos Magdolna.); N.; N.; N.; II. György 1514.; Erzse.; Kata.; Bora.
Móré János (tán Lászlónak fia) szintén e családbéli, 1549-ben Léva várában fogatott el Salm hadvezér által, mint a rakonczátlan Balassa Menyhért egyik híve. Jánosnak, ki Szatmár vármegyében is birt, neje Dersffy Margit volt. Benne a család kihalt.
Más Móré családból valónak látszik származottnak azon Móré Péter, Várday Péter kalocsai érsek kalocsai házának gondviselője, ki ura pénzével s drágaságaival együtt 1496-ban a Szerémségbe szökött. Valamint azon
Móré Mihály is, ki 1521-ben mint Belgrád egyik kapitánya, e várat a törököknek árulással föladta.