Hatványozás
Hatványozás. A szorosabb értelemben vett H. nem más, mint ismételt szorzás. Ugyanis valamely a számot az n-dik hatványra emelni vagy a-nak n-dik hatványát képezni annyit tesz, mint azt az n tényezőből álló szorzatot képezni, melyben minden egyes tényező az a alapszám. P. 2-nek harmadik hatványa 2 x 2 x 2 = 8. Az n szám, mely megmutatja, hogy a hányszor veendő mint tényező, kitevőnek neveztetik, a H. eredménye hatványnak. Az a alapszám n-dik hatványának jele: an (olv. a az n-re). A második és harmadik hatvány négyzetnek (quadratum) illetve köbnek (cubus) is mondatik.
Valamely szám első hatványa alatt magát az alapszámot értjük, a zérusadik hatványa pedig mindig = 1. A H.-ra vonatkozó legfontosabb és legegyszerübb tételek a következők: 1. Egyenlő alapszámu hatványokat ugy szorozhatunk, hogy a közös alapszámot felemeljük a kitevők összegére. 2. Hatványt ugy hatványozunk, hogy alapszámát felemeljük a kitevők szorzatára. Képletben
| am. an = am+ u+v, (am)n = amn. |
A H. fogalma negativ egész, valamint tört, sőt irracionális kitevők esetére is általánosítható, még pedig ugy, hogy az előbbi két képlet az általánosabb értelemben vett H. esetére is érvényes marad. Ha a kitevő negativ egész szám (= - n), akkor a-nak - n kitevőjü hatványa alatt an reciprok értékét értjük. Más mint egész számu kitevőkre csak pozitiv alapszámot szoktunk emelni.
Valamely pozitiv a alapszám m/n kitevőjü hatványa alatt azt a pozitiv x számot értjük, melynek n-dik hatványa = am. P.
8 2/3 = 4, mert 43 = 82 = 64
Ha a kitevő irracionális szám, azaz nem fejezhető ki mint két egész szám hányadosa, akkor előbb egy racionális számokból álló oly t1 , t2 , ... , to , ... számsorozat képezendő, melynek határértéke = t. Ha azután a pozitiv a alapszámot rendre felemeljük a t1 , t2 , ... racionális kitevőkre, ugy a nyert
| at1 , at2 , ... , atn , ... |
számsorozatnak határértéke megadja a keresett at hatványt.
A leggyakrabban előforduló H.-ok a négyzetre és a köbre emelés. Ezekre vonatkozólag a következő képletek érvényesek:
| (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 |
| (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3 ab2 + b3. |
Ezeken alapszanak a következő számítási eljárások: Ha valamely egész szám négyzetre emelendő, akkor egymásután a következő értékeket képezzük: balról az első számjegy négyzetét, az első és a második számjegy kétszeres szorzatát, a második számjegy négyzetét, azután egy számnak véve az első két számjegyet, e számnak a 3. jegygyel való kétszeres szorzatát, a 3. számjegy négyzetét, azután ismét egy számnak véve az első három számjegyet, e számnak a 4. jegygyel való kétszeres szorzatát, a 4. számjegy négyzetét és ugy tovább. Az igy nyert számokat azonban mindig egy helylyel tovább irjuk jobbfelé. Az igy keletkezett összeadandók összege adja a keresett négyzetet. P.
| 32 = 9 |
| 2. 3. 6 = 36 |
| 62 = 36 |
| 2. 36. l = 72 |
| l2 = l |
| 2 . 361 . 5 = 3610 |
5u+v = 25
36152 = 13067225.
Egész szám köbre emelésénél mindenekelőtt meghatározzuk balról az első számjegy köbét. Minden későbbi jegy 3 alkatrészt nyujt a köbben: 1. az illető jegynek s az őt megelőző szám háromszoros négyzetének szorzatát; 2 a megelőző szám háromszorosának s az illető jegy négyzetének szorzatát; 3. a jegy köbét. A nyert számokat azonban mindig egy helylyel tovább irjuk jobbfelé. Az igy keletkezett összeadandók összege adja a keresett köböt. P.
Egészen hasonló módon történik a négyzetre és a köbre emelés, ha az alapszámnak tizedes tört része is van, csakhogy a talált értékben a négyzetre emelésnél kétszer, a köbre emelésnél háromszor annyi tizedes helyet kell elvágni, mint amennyi az alapszámban volt. L. még Binom és Kitevős függvény.
